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Finite-Elemente-Methode (FEM) FEM das Allroundtalent der Numerik

Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein physikalisch motiviertes numerisches Verfahren mit dem partielle Differentialgleichungen näherungsweise gelöst werden können.

Partielle Differentialgleichungen

 

Mit partiellen Differentialgleichungen sind die Beanspruchungen der materiellen Punkte eines Festkörpers unter anderem in Abhängigkeit von den Bewegungen der sie umgebenden Punkte formuliert. Mit ihnen können leistungsfähige mathematische Modelle entwickelt werden, die das Verformungsverhalten von Festkörpern realistisch abbilden. Soll das Verformungsverhalten unter Beachtung der Massenträgheit untersucht werden, sind neben räumlichen Ableitungen auch zeitliche Ableitungen bezüglich des Verschiebungsfeldes zu approximieren.

Diskretisierung in Raum und Zeit

In vielen Finite-Elemente-Programmen wird die FEM nur zur räumlichen Approximation eingesetzt. Zur zeitlichen Approximation wird hingegen häufig das Newmark-beta-Verfahren oder die Generalisiert-alpha-Methode angewendet. Beides sind Kollokationsverfahren die der Klasse der Finite-Differenzen-Verfahren zugeordnet sind. Mit ihnen sind die Differentialgleichungen der Strukturmechanik an diskreten Zeitpunkten ausgewertet. An dieser Stelle ist darauf hingewiesen, dass die FEM auch im Zeitbereich eingesetzt werden kann. Die Anwendung der Raum-Zeit Finite-Elemente-Methode führt jedoch zu sehr großen Gleichungssystemen, die numerisch zu lösen sind. So wird häufig auf gemischte Verfahren zurückgegriffen, bei denen allein die räumliche Approximation die Anzahl an Freiwerten bestimmt. Hier soll die Finite-Elemente-Methode im Vordergrund stehen, so dass für Kollokationsverfahren auf die einschlägige Literatur verwiesen ist.

Approximation von Geometrie und Physik

Nach der FEM werden die Formen komplexer Strukturen mit einer Vielzahl von geometrischen Primitiva approximiert, den sogenannten finiten Elementen. Als besonders geeignet werden würfelförmige Elemente und Tetraeder eingesetzt. Neben der Geometrie werden auch die räumlichen Verläufe der Bewegungen und daraus abgeleitet die Spannungen mit Polynomansätzen angenähert. Die Freiheitsgrade der Ansätze werden dabei den Finite-Elemente-Knoten zugeordnet, die regelmäßig verteilt, auf den Rändern der finiten Elemente liegend, den lückenlosen Aufbau von geometrischen Körpern und die Kontinuität in den Verschiebungsverläufen sicherstellen.

Näherungslösungen

Die Güte von Näherungslösungen für die Bewegungen von Strukturen kann sowohl durch eine Verfeinerung des Finite-Elemente-Netzes als auch mit der Wahl höherer Polynomansätze in den finiten Elementen verbessert werden. In Bezug auf die Strukturmechanik ist abschließend festzuhalten, dass mit Anwendung der FEM die zugrundeliegenden Differentialgleichungen dem Lagrange-Formalismus folgend nicht an den einzelnen materiellen Punkten sondern über das gesamte räumliche Gebiet in schwacher Form gelöst werden.